7-OPERATIONS LOGIQUES sur les nombres entiers:

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Opérations logiques sur les nombres entiers.

Si vous connaissez bien le système binaire, vous pouvez sauter le tableau de correspondance suivant:

décimal	0	1	2	3	4	5	6	7	8
binaire	0	1	10	11	100	101	110	111	1000
décimal		9	10	11	12	13	14	15	16
binaire		1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000
décimal	-1	-2	-3	-4	-5	-6
binaire	...1111	...1110	...1101	...1100	...1011	...1010

La dernière ligne du tableau représente quelques nombres binaires négatifs:
... représente, ici, une suite de 1 vers la gauche (c'est le signe moins).
Le nombre de 1 dépend de l'implémentation: sur 8, 16, 32, 64 bits.
Pour avoir la valeur absolue de ce nombre négatif, on prend le complément et on lui ajoute 1.
Exemple: pour -5, on prend le complément de ...1011, soit 100 et on lui ajoute 1: 101, donc 5 dans le système décimal.
Un truc aussi: en remarquant que -5=-8+3, en binaire cela fait ...111011=...111000+11.
Ce qui nous inspire la décomposition du nombre ...111011 de la façon suivante:
       ...11 | 1000 | 11
          -      8   +3 donc -5
L'écriture et le calcul sont un peu déroutants, mais pensez bien que: (...111011)-(...111000)= 11 ne
peut être que positif (le plus grand moins le plus petit).

Les 4 fonctions suivantes sont associatives, on peut donc leur donner plus de 2 arguments:
Par exemple: (logior 2 (logior 3 4)) = (logior (logior 2 3) 4) = (logior 2 3 4) = 7

LOGIOR:

(logior 2 3 4 5)
7 10 ou 11 ou 100 ou 101 donne bien 111 en binaire
(logior)
0 c'est l'identité pour cette opération

LOGXOR:

(logxor 2 3 7)
6 10 ou(excl) 11 donne 1 et 1 ou(excl) 111 donne 110
(logxor)
0 c'est l'identité pour cette opération

LOGAND:

(logand 2 3 6)
2 10 et 11 et 110 donne 10
(logand)
-1 c'est l'identité pour cette opération

LOGEQV:

(logeqv 2 3)
-2 équivaut à un non-xor (non-ou-exclusif): 10 non-xor 11 donne non(01), soit ...11110, donc -2
(logeqv)
-1 c'est l'identité pour cette opération

NEGATION d'une valeur logique:

LOGNOT: (ne prend qu'un argument et rend le complément de cet argument)

(lognot 0)
-1 ...1111111 se note -1
de même: ...1111110 se note -2 = (lognot 1)
  ...1111100 se note -4 = (lognot 3)
...1111101 se note -3 (-4+1) = (lognot 2)

Les 6 fonctions suivantes ne sont pas associatives, elles prennent donc exactement 2 arguments:
LOGNAND:
LOGNOR:
LOGANDC1:
LOGANDC2:
LOGORC1:
LOGORC2:
Voici la table de vérité des 10 opérations logiques agissant sur 2 arguments:

entier1	0	0	1	1		3
entier2	0	1	0	1	nom de l'opération	5
logand	0	0	0	1	ET	1
logior	0	1	1	1	OU (inclusif)	7
logxor	0	1	1	0	OU (exclusif) ou XOR	6
logeqv	1	0	0	1	équivalence (NON-XOR)	-7
lognand	1	1	1	0	NON-ET	-2
lognor	1	0	0	0	NON-OU	-8
logandc1	0	1	0	0	ET sur (complément de l'entier1, entier2)	4
logandc2	0	0	1	0	ET sur (entier1, complément de l'entier2)	2
logorc1	1	1	0	1	OU sur (complément de l'entier1, entier2)	-3
logorc2	1	0	1	1	OU sur (entier1, complément de l'entier2)	-5

La dernière colonne donne les résultats des opérations sur les arguments 3 et 5 (respectivement: 0011 et 0101).

LOGBITP:  

(logbitp 4 17)
T rend T car le bit de poids 2^4 contient 1 dans le nombre 10001 (17)

(logbitp 3 17)
NIL rend NIL car le bit de poids 2^3 contient 0 dans le nombre 10001

LOGTEST: (logtest x y) == (not (zerop (logand x y)))

(logtest 17 16)
T rend T car il existe un bit de même poids à 1 dans
les 2 nombres 10001 et 10000

(logtest 17 10)
NIL rend NIL car aucun bit de même poids ne se trouve à 1
à la fois dans les 2 nombres 10001 et 1010

ASH:

(ash 3 2)
12 déplace tous les bits du nombre 11 (3 en décimal égale 11 en binaire) de 2 rangs vers la gauche,
ce qui donne 1100 avec 2 bits à zéro à droite (soit 12 en décimal)

(ash 17 -3)
2 déplace tous les bits du nombre 10001 (17 en décimal) de 3 rangs vers la droite
      avec disparition des 3 bits de poids faible, ce qui donne: 10 (2 en décimal)

(ash -3 2)
-12 ...111101 (-4+1) devient ...110100 (-16+4)

Remarque 2: (ash 17 -3) est le premier résultat de: (floor 17 (expt 2 3))

(floor 17 (expt 2 3))
2
1

LOGCOUNT:

(logcount 5)
2 rend le nombre de bits à 1 dans un nombre positif

(logcount -3)
1 rend le nombre de bits à 0 dans un nombre négatif

INTEGER-LENGTH:

(integer-length 7)
3 rend le nombre de bits en binaire du nombre entier positif en argument (111 ici)
c'est à dire que le nombre de bits utilisés ne peut pas être inférieur à 3

(integer-length -5)
3 un nombre négatif en binaire est mis sous la forme dite "complément à deux"
5 s'écrit 00000101 sous 8 bits. Son complément à deux est 11111010 + 1 = 11111011 (-5)
le nombre de bits pour représenter -5 ne peut pas être inférieur à
(integer-length -5) + 1 = 3+1 = 4
Pour résumer: INTEGER-LENGTH rend le nombre de bits nécessaires pour représenter un nombre entier en binaire,
mais il ne faut pas oublier le bit de signe pour les nombre négatifs.

BOOLE:

Cette fonction est appelée sous la forme: (boole opération entier1 entier2)
où opération représente une constante parmi les 16 du tableau suivant:

entier1	0	0	1	1
entier2	0	1	0	1	opération réalisée
boole-clr	0	0	0	0	toujours 0
boole-set	1	1	1	1	toujours 1
boole-1	0	0	1	1	entier1
boole-2	0	1	0	1	entier2
boole-c1	1	1	0	0	complément de l'entier1
boole-c2	1	0	1	0	complément de l'entier2
boole-and	0	0	0	1	ET
boole-ior	0	1	1	1	OU inclusif
boole-xor	0	1	1	0	OU exclusif
boole-eqv	1	0	0	1	équivalence (NON OU-exclusif)
boole-nand	1	1	1	0	NON-ET
boole-nor	1	0	0	0	NON-OU
boole-andc1	0	1	0	0	ET sur (complément de l'entier1, entier2)
boole-andc2	0	0	1	0	ET sur (entier1, complément de l'entier2)
boole-orc1	1	1	0	1	OU sur (complément de l'entier1, entier2)
boole-orc2	1	0	1	1	OU sur (entier1, complément de l'entier2)

Bientôt: "les séquences."